Teunis van der Zwart maakte furore als bespeler van de natuurhoorn en is een specialist in historisch geïnformeerde uitvoeringspraktijk.

Als solist maakte hij cd-opnames met onder andere het Freiburger BarockOrchester, het Orkest van de Achttiende Eeuw, Orchestra Libera Classica, Isabelle Faust en Alexander Melnikov en trad hij op met dirigenten als Frans Brüggen, Phillipe Herreweghe, René Jacobs, Jos van Veldhoven, Ivor Bolton, Ivan Fischer en Masato Suzuki.

Van der Zwart gaf masterclasses over de hele wereld en was hoofdvakdocent aan de conservatoria van Amsterdam en Den Haag. Aan laatstgenoemd conservatorium leidt hij sinds 2020 de gerenommeerde afdeling oude muziek.

Hoewel hij niet meer werkzaam is als uitvoerend musicus, is hij momenteel actief als jurylid, coach en spreker.

In 2023 promoveerde hij op zijn onderzoek naar de klank en speeltechnieken van de achttiende-eeuwse hoornvirtuoos Giovanni Punto.